Question

画出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x－2y的最大值和最小值

Answer 1

如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC区域

直线AB的方程为x+2y－1=0，BC及CA的直线方程分别为x－y+2=0，2x+y－5=0

在△ABC内取一点P（1，1），分别代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5

得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0

因此所求区域的不等式组为

作平行于直线3x－2y=0的直线系3x－2y=t（t为参数），即平移直线y=x，观察图形可知：当直线y=x－t过A（3，－1）时，纵截距－t最小此时t最大，t_max=3×3－2×（－1）=11；

当直线y=x－t经过点B（－1，1）时，纵截距－t最大，此时t有最小值为t_min=       3×（－1）－2×1=－5

因此，函数z=3x－2y在约束条件

x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值为11，最小值为－5

点评：确定一个点是否在不等式表示的区域内，只要将该点代入不等式，若满足该不等式，则点在区域内；若不满足不等式，则该点就不在区域内.

解析:

本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组；③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值