Question

若正项数列满足条件：存在正整数，使得对一切都成立，则称数列为级等比数列．
（1）已知数列为2级等比数列，且前四项分别为，求的值；
（2）若为常数），且是级等比数列，求所有可能值的集合，并求取最小正值时数列的前项和；
（3）证明：为等比数列的充要条件是既为级等比数列，也为级等比数列．

Answer 1

（1）（2），0，（3）详见解析.

试题分析：（1）解新定义数列问题，关键从定义出发，建立等量关系. ,
,,（2）本题化简是关键.因为是级等比数列，所以
 

所以，最小正值等于，此时
，（3）充分性就是验证，易证，关键在于证必要性，可从两者中在交集（共同元素）出发. ,成等比数列, 因此既是中的项，也是中的项，既是中的项，也是中的项，可得它们公比的关系，进而推出三者结构统一，得出等比数列的结论.
解（1）   （2分）

   （4分）
（2）是级等比数列，
 （1分）




所以，
 （3分）
最小正值等于，此时
，，
 （5分）
 （6分）
（3）充分性：若为等比数列，则
对一切成立，显然对成立。
所以既为级等比数列，也为级等比数列。 （2分）
必要性：若为级等比数列，，则均成等比数列，设等比数列的公比分别为，为级等比数列，，则成等比数列，设公比为     （3分）
既是中的项，也是中的项，
既是中的项，也是中的项，
     （5分）
设，则
所以（），（），
又，，
所以，     （7分）
（）
所以，，（）
综合得：，显然为等比数列。     （8分）