Question

定义在的三个函数f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx, g(x)= ,且g(x)在[1，2]为增函数，h(x)在（0，1）为减函数.

（I）求g(x)，h(x)的表达式；

（II）求证：当1<x<时，恒有

（III）把h(x)对应的曲线向上平移6个单位后得曲线，求与g(x)对应曲线的交点个数，并说明道理.

Answer 1

（I）由题意：

∴恒成立.

又恒成立.

∴即

（II）

欲证：

只需证：

即证：

记

∴

∴当x>1时，为增函数

即

∴结论成立

（III）由 （1）知：

∴对应表达式为

∴问题转化成求函数

即求方程：

即：

设

∴当时，为减函数.

当时，为增函数.

而的图象开口向下的抛物线

∴与的大致图象如图：

∴与的交点个数为2个.

即与的交点个数为2个.