Question

已知函数f(x)=x+

m

x

过点（1，5），
（1）求函数解析式，并求证：函数f（x）是奇函数；
（2）判断函数f（x）在（2，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析：（1）把点（1，5）代入函数的解析式求得m的值，可得函数的解析式，再根据定义域关于原点对称、且满足f（-x）=-f（x），可得函数f（x）是奇函数．
（2）任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，化简

f(x1)-f(x2)

＜0，可得函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．

解答：解：（1）把点（1，5）代入函数的解析式可得1+m=5，故m=4，
故f(x)=x+

4

x

，定义域为x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
而f(-x)=-x-

4

x

=-f(x)，
∴函数f（x）是奇函数．
（2）任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，

f(x1)-f(x2)=x1+ 4 x1 -x2- 4 x2 =x1-x2+ 4 x1 - 4 x2 =x1-x2+ 4(x2-x1) x1x2

=

x1x2(x1-x2)+4(x2-x1) x1x2 = (x1-x2)(x1x2-4) x1x2

，
∵x₁，x₂∈（2，+∞），x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-4＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，函数的奇偶性的判断，利用定义证明函数的单调性，属于中档题．