Question

已知二次函数f (x)=x²+mx+n对任意x∈R，都有f (－x) = f (2＋x)成立，设向量= ( sinx,2 ) ，= (2sinx , )，= ( cos2x , 1 )，=(1,2)，
（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0,π]时，求不等式f (·)＞f (·)的解集.

Answer 1

解；（1）设f(x)图象上的两点为A(－x,y₁）、B(2＋x, y₂），
因为=1， f (－x) = f (2＋x)，所以y₁= y₂由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，
∴x≥1时，f(x)是增函数 ；x≤1时，f(x)是减函数。
（2）∵=（sinx，2）·（2sinx，）=2sin2x＋1≥1，
=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1，
∵f(x)在是[1，+∞）上为增函数，
∴f(2sin2x＋1)＞f(cos2x＋2)2sin2x＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x＋2cos2x＜02kπ＋＜2x＜2kπ＋，k∈zkπ＋＜x＜kπ＋，k∈z
∵0≤x≤π ，
∴＜x＜
综上所述，不等式f (a(→)·b(→))＞f (c(→)·d(→))的解集是：{ x|＜x＜}