Question

【题目】如图，为圆的直径，点为圆上的一点，且，点为线段上一点，且，垂直圆所在的平面．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接，然后利用直径的性质与正三角形的性质推出、，再结合线面垂直的性质定理推出，由此使问题得证；（Ⅱ）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，然后求出相关点的坐标和向量，再分别求出平面与的法向量，从而利用空间夹角公式求解即可．

试题解析：（Ⅰ）证明：连接，由知，点为的中点．

为圆上的一点，为圆的直径，．

知，，

为正三角形，．

又垂直圆所在的平面，在圆所在的平面内，．

由，可得平面．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可建立如图所示的空间直角坐标．设，

则．．

设向量为平面的法向量，则，即

，取，则为平面的一个法向量．

又为平面的一个法向量．

，

二面角的余弦值为．