题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F，椭圆C与直线y=x在第一象限的交点为P，椭圆C在P点的切线为l，过原点O作直线平行于l交FP于M，则|PM|的长为（　　）
分析：为方便计算，本选择题利用特殊法解决．不妨设椭圆椭圆C：
x2
2
+
y2
1
=1，分别求出它的左焦点，椭圆C与直线y=x在第一象限的交点，椭圆C在P点的切线，过原点O作直线平行于l交FP于M的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|PM|的长即可得出正确选项．
解答：解：设椭圆椭圆C：
x2
2
+
y2
1
=1，
它的左焦点为F（-1，0），
椭圆C与直线y=x在第一象限的交点为P（
6
3
，
6
3
），
椭圆C在P点的切线为l：
6
3
x 
2
+
6
y
3
=1，即x+2y=
6

过原点O作直线平行于l：x+2y=0，
交FP于M（
6-
6
15
，
2
6
- 12
15
　），又P（
6
3
，
6
3
），
则|PM|的长为
2
=a．
故选B．
点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、两直线的位置关系、直线的交点等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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