题目内容

若a²+2b²=3（a＞0，b＞0），则a+2b的最大值为________．

3
分析：把已知的等式化为椭圆的标准方程，根据标准方程变形，设出椭圆的参数方程，进而表示出a与b，把表示出的a与b代入所求的式子中，提取3后，利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域得到其最大值为1，即可得到所求式子的最大值．
解答：由a²+2b²=3，变形得： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，
令 $\text{[math]}$ =cosx， $\text{[math]}$ b=sinx，
∴a= $\text{[math]}$ cosx，b= $\text{[math]}$ sinx= $\text{[math]}$ sinx，
则a+2b= $\text{[math]}$ cosx+ $\text{[math]}$ sinx=3（ $\text{[math]}$ cosx+ $\text{[math]}$ sinx）=3sin（θ+x），（其中tanθ= $\text{[math]}$ ），
当sin（θ+x）=1时，a+2b有最大值，最大值为3．
故答案为：3
点评：此题考查了椭圆的参数方程，三角函数的恒等变形以及正弦函数的值域．把已知的等式通过化为椭圆的标准方程，进而表示出椭圆的参数方程是本题的突破点．