题目内容
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
(1)若a>b>c,且f(1)=0,是否存在m∈R,使得f(m)=-a成立时,f(m+3)为正数?若存在,证明你的结论;若不存在,说明理由.
(2)若对x1,x2∈R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程f(x)=
[f(x1)+f(x2)]有2个不等实根,证明必有一个根属于(x1,x2).
(3)若f(0)=0,是否存在b的值使{x|f(x)=x}={x|f(f(x))=x}成立?若存在,求出b的取值范围;若不存在,说明理由.
(1)因为f(1)=a+b+c=0,且a>b>c,
所以a>0且c<0.
因为f(1)=0,所以1是f(x)=0的一个根,
由根与系数的关系知另一根为
.
因为a>0且c<0,所以<0<1.又a>b>c,b=-a-c,所以-2<<-.
假设存在这样的m,由题意,则
a
(m-1)=-a<0,所以<m<1.
所以m+3>+3>-2+3=1.
因为f(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以f(m+3)>f(1)=0,
即存在这样的m使f(m+3)>0.
(2)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],
则g(x)是二次函数.
因为g(x1)·g(x2)
=
=-
[f(x1)-f(x2)]2≤0,
又因为f(x1)≠f(x2),g(x1)·g(x2)<0,
所以g(x)=0有两个不等实根,且方程g(x)=0的根必有一个属于(x1,x2).
(3)由f(0)=0得c=0,所以f(x)=ax2+bx.
由f(x)=x,得方程ax2+(b-1)x=0,
解得x1=0,x2=
,
又由f(f(x))=x得af2(x)+bf(x)=x.
所以a[f(x)-x+x]2+b[f(x)-x+x]=x.
所以a[f(x)-x]2+2ax[f(x)-x]+ax2+b[f(x)-x]+bx-x=0.
所以[f(x)-x][af(x)-ax+2ax+b+1]=0,
即[f(x)-x][a2x2+a(b+1)x+b+1]=0.
所以f(x)-x=0或a2x2+a(b+1)x+b+1=0.(*)
由题意(*)式的解为0或或无解,
当(*)式的解为0时,可解得b=-1,
经检验符合题意;
当(*)式的解为时,可解得b=3,
经检验符合题意;
当(*)式无解时,Δ=a2(b+1)2-4a2(b+1)<0,
即a2(b+1)(b-3)<0,
所以-1<b<3.
综上可知,当-1≤b≤3时满足题意.
