Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+1（a∈R），且f（x）在点（

2

3

，f（

2

3

））处的切线垂直于y轴．
（1）求实数a的值；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）在点（

2

3

，f（

2

3

））处的切线垂直于y轴，即f′（

2

3

）=0，即可求实数a的值；
（2）求导数，令f′（x）=0，可得x=0或

2

3

，求出f（0）=1，f（

2

3

）=

31

27

，f（2）=-3，即可得出f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）依题意：f′（

2

3

）=0．
∵f（x）=-x³+ax²+1，
∴f′（x）=-3x²+2ax，
∴-3×(

2

3

)2+2a×

2

3

=0，
∴a=1；
（2）由（1）知：f（x）=-x³+x²+1，f′（x）=-3x²+2x，
令f′（x）=0，可得x=0或

2

3

，
∵f（0）=1，f（

2

3

）=

31

27

，f（2）=-3，
∴f（x）_max=

31

27

，f（x）_min=-3．

点评：本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．