Question

在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，O₁为BD的中点，O₂为BC₁的中点，O₃为DC₁的中点，求证：A₁C⊥平面O₁O₂O₃.

Answer 1

证明：不妨设正方体的棱长为1个单位长度，且设,,.以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz,则

C(0,1,0),A₁(1,0,1),O₁(,,0),O₂(,1,),O₃(0, ,)，=(-1,1,-1),=(0, ,),=(-,0, ).

∴,

.

∴且.

∴A₁C⊥O₁O₂且A₁C⊥O₁O₃.

又∵O₁O₂∩O₁O₃=O₁,∴A₁C⊥平面O₁O₂O₃.

启示：用向量坐标运算证明线线或线面垂直是向量的一个重要应用，要熟练掌握.关键是建系，求点的坐标，其中建系的恰当与否决定解题的繁简程度.