题目内容
（2013•眉山一模）已知数列{an}中，a1=6，an+1=an+1，数列{bn}，点（n，bn）在过点A（0，1）的直线l上，若l上有两点B、C，向量
=（1，2）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn=n•2bn，试求数列{cn}的前n项和．
| BC |
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn=n•2bn，试求数列{cn}的前n项和．
分析：（1）由给出的递推式得到数列{an}是等差数列，可直接利用等差数列的通项公式求解．题目给出了直线l经过顶点A，且给出了方向向量
，设出直线l上的任意一点的坐标，由共线向量基本定理可求直线l的方程，然后把点（n，bn）代入所求的直线方程即可得到数列{bn}的通项公式；
（2）把（1）中求出的数列{bn}的通项公式代入cn=n•2bn，利用错位相减法可求数列{cn}的前n项和．
| BC |
（2）把（1）中求出的数列{bn}的通项公式代入cn=n•2bn，利用错位相减法可求数列{cn}的前n项和．
解答：解：（1）在数列{an}中，∵an+1=an+1，∴an+1-an=1
则数列{an}是公差为1的等差数列，又a1=6，
∴an=a1+（n-1）d=6+1×（n-1）=n+5．
设l上任意一点P（x，y），∵点A（0，1）在直线l上，则
=（x，y-1），
由已知可得
∥
，又向量
=（1，2），
∴2x-（y-1）=0，∴直线l的方程为y=2x+1，
又直线l过点（n，bn），∴bn=2n+1；
（2）由cn=n•2bn=n•22n+1
∴Sn=C1+C2+…+cn
=1×23+2×25+3×27+…+n•22n+1①
4Sn=1×25+2×27+…+(n-1)•22n+1+n•22n+3②
①-②得：-3Sn=23+25+27+…+22n+1-n•22n+3．
=
-n•22n+3=
-n•22n+3
∴Sn=
．
则数列{an}是公差为1的等差数列，又a1=6，
∴an=a1+（n-1）d=6+1×（n-1）=n+5．
设l上任意一点P（x，y），∵点A（0，1）在直线l上，则
| AP |
由已知可得
| AP |
| BC |
| BC |
∴2x-（y-1）=0，∴直线l的方程为y=2x+1，
又直线l过点（n，bn），∴bn=2n+1；
（2）由cn=n•2bn=n•22n+1
∴Sn=C1+C2+…+cn
=1×23+2×25+3×27+…+n•22n+1①
4Sn=1×25+2×27+…+(n-1)•22n+1+n•22n+3②
①-②得：-3Sn=23+25+27+…+22n+1-n•22n+3．
=
| 8(1-4n) |
| 1-4 |
| 8(1-4n) |
| -3 |
∴Sn=
| 8+(3n-1)22n+3 |
| 9 |
点评：本题考查了数列中等差关系的确定，考查了由直线的方向向量求直线的方程，训练了共线向量基本定理，如果直线l的方向向量为
=(a，b)，则该直线的斜率为k=
，考查了数列求和的常用方法，错位相减法，求一个等差数列和一个等比数列的乘积构成的新数列的和，最常用的方法就是错位相减法，利用错位相减法学生最容易忽落的就是最后一项的符号，从而导致解读出错．此题属中档题型．
| m |
| b |
| a |
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