Question

14．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinC+cosC+$\sqrt{2}$sin$\frac{C}{2}$=1．
（1）求C；
（2）若cosAcosB=$\frac{13}{24}$$\sqrt{3}$，△ABC的面积为$\sqrt{3}$．求c及△ABC的外接圆面积．

Answer 1

分析 （1）已知等式移项后利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，即可确定出C的度数；
（2）由两角和的余弦函数公式及已知可求sinAsinB的值，利用三角形面积公式可求R，由正弦定理可求c，即可求得圆的面积．

解答 解：（1）∵sinC+cosC+$\sqrt{2}$sin$\frac{C}{2}$=1，即sinC+$\sqrt{2}$sin$\frac{C}{2}$=1-cosC=2sin²$\frac{C}{2}$，
整理得：2sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$+$\sqrt{2}$sin$\frac{C}{2}$=1-cosC=2sin²$\frac{C}{2}$，
∵sin$\frac{C}{2}$≠0，
∴2cos$\frac{C}{2}$+$\sqrt{2}$=2sin$\frac{C}{2}$，即sin$\frac{C}{2}$-cos$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
两边平方得：（sin$\frac{C}{2}$-cos$\frac{C}{2}$）²=1-sinC=$\frac{1}{2}$，即sinC=$\frac{1}{2}$，
∵sin$\frac{C}{2}$-cos$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，
∴$\frac{π}{4}$＜$\frac{C}{2}$＜$\frac{π}{2}$，即$\frac{π}{2}$＜C＜π，
则C=$\frac{5π}{6}$；
（2）cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB，
⇒sinAsinB=cosAcosB+cosC=$\frac{13}{24}$$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{24}$，
⇒S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$4R²×sinAsinBsinC=2R²×$\frac{\sqrt{3}}{24}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$，
⇒R=2$\sqrt{6}$，
⇒c=2RsinC=2$\sqrt{6}$，
⇒S外接圆=πR²=24π．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．