Question

用边长60cm的正方形的铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去相同的小正方形，然后把四边翻转90°再焊接而成．问水箱底边应取多少，才能使水箱的容积最大？

Answer 1

分析：设水箱底长为xcm，则高为

60-x

2

cm，然后求出容器的容积，利用导数研究其最值，注意变量的范围．

解答：解：设水箱底长为xcm，则高为

60-x

2

cm．
由

60-x 2 ＞0 x＞0

得0＜x＜60．
设容器的容积为ycm³，则有y=x2•

60-x

2

=-

1

2

x3+30x2．  …（2分）
求导数，有y′=-

3

2

x2+60x．   …（4分）
令y′=-

3

2

x2+60x=0，解得x=40（x=0舍去）．
当x∈（0，40）时，y'＞0；当x∈（40，60）时，y'＜0，…（6分）
因此，x=40是函数y=x2•

60-x

2

的极大值点，也是最大值点．
所以，当水箱底边长取40cm时，才能使水箱的容积最大． …（8分）

点评：本题考查了立方体容积计算方法，解答关键是求出水箱的底边长和高，注意挖掘题目中的隐含条件，同时考查了利用导数研究函数的最值．