Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线的极坐标方程是.

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）求直线被曲线的截得的弦长.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直线的普通方程是；曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）消去参数，得直线的普通方程，利用，即可得曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线与抛物线联立得， 利用韦达定理求解即可.

试题解析：

（Ⅰ）由（为参数），得直线的普通方程是，

由，得，即，

所以，故曲线的直角坐标方程为.

（Ⅱ）易知抛物线的焦点是，且直线过抛物线的焦点，

设直线与曲线交于点、，

由得，

所以，所以 ，即直线被曲线截得的弦长为.