Question

（1）若任意直线l过点F（0，1），且与函数f（x）=

1

4

x2的图象C交于两个不同的点A，B，分别过点A，B作C的切线，两切线交于点M，证明：点M的纵坐标是一个定值，并求出这个定值；
（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，g（x）=alnx（a＞o）求实数a的取值范围；
（3）求证：

ln24

24

+

ln34

34

+

ln44

44

+…

lnn4

n4

＜

2

e

，（其中e为无理数，约为2.71828）．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分别求出在点A，B处的切线方程，求出两切线的交点M的纵坐标，即可得到结论；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），然后利用导数研究F（x）的最小值，使F（x）的最小值大于等于0即可，从而求出a的取值范围；
（3）由（2）可知，取a=

e

2

有

x2

4

≥

e

2

lnx  化简得：

2lnx

x2

≤

1

e

，再变形得：

lnx4

x4

≤

2

ex2

，然后利用叠加法，以及裂项求和法可证得结论．

解答：证明：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知AB的斜率必存在  设AB：y=kx+1代入y=

1

4

x2
得  x²-4kx-4=0∴x₁x₂=-4
∵f（x）=

1

4

x2∴f′（x）=

x

2

∴k_AM=

x1

2

，k_BM=

x2

2

，
∴AM：y-

x 2 1

4

=

x1

2

（x-x₁），
化简得：AM：y=

x1

2

x-

x 2 1

4

同理：BM：y=

x2

2

x-

x 2 2

4

，解得：y=

x1x2

4

=-1
（2）令：F（x）=f（x）-g（x）=

1

4

x2-alnx（a＞0，x＞0），
∴F′（x）=

x

2

-

a

x

=

x2-2a

2x

令 F′（x）=0 得：x=

2a

 
所以 当x∈（0，

2a

）时F′（x）＜0   即F（x）在区间（0，

2a

）上单调递减；
所以 当x∈（

2a

，+∞）时F′（x）＞0即即F（x）在区间（

2a

，+∞）上单调递增；
∴y=F（x）在x=

2a

时取得最小值，要f（x）≥g（x）恒成立，只要F（

2a

）≥0
即 

x

2

-aln

2a

≥0，解得a≤

e

2

（3）由（2）可知，取a=

e

2

有

x2

4

≥

e

2

lnx  化简得：

2lnx

x2

≤

1

e

变形得：

lnx4

x4

≤

2

ex2

∴

ln24

24

+

ln34

34

+

ln44

44

+…

lnn4

n4

＜

2

e

（

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

）
＜

2

e

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

）=

2

e

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=

2

e

（1-

1

n

）＜

2

e

点评：本题主要考查了恒成立问题，以及不等式的证明和裂项求和法的应用，同时考查了转化能力，属于难题．