Question

已知函数f（x）=ax²-3ax+1（a∈R）
（1）若f（-1）•f（2）＜0，求a的取值范围；
（2）若对一切实数x，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（-1）•f（2）＜0，即（4a+1）（-2a+1）＜0，由此解得a的取值范围．
（2）当a=0时，不等式即1＞0，满足条件．
当a≠0时，由

a＞0  △=9a2-4a＜0

，求得实数a的取值范围．再把实数a的取值范围取并集，即得所求．

解答：解：（1）函数函数f（x）=ax²-3ax+1（a∈R），有f（-1）•f（2）＜0，
即（4a+1）（-2a+1）＜0亦即（4a+1）（2a-1）＞0
解得a＜-

1

4

或a＞

1

2

，故a的取值范围为：a＜-

1

4

或a＞

1

2

；
（2）当a=0时，不等式即1＞0，满足条件．
当a≠0时，要使不等式ax²-3ax+1＞0对一切x∈R恒成立，
需

a＞0  △=9a2-4a＜0

，解得 0＜a＜

4

9

．
综上可得，实数a的取值范围是[0，

4

9

）

点评：本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．