Question

已知函数f（x）=（

3

sinx-cosx）cosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S为△ABC的面积．若f（A）=

1

2

，a=2

3

，S=2

3

，求b，c．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数间的关系式将f（x）=（

3

sinx-cosx）cosx转化为f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，利用正弦函数的性质即可求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）利用三角形的面积公式与正弦定理得到关于b，c的方程组，解之即可．

解答：解：（1）∵f（x）=（

3

sinx-cosx）cosx
=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，f（x）_max=

1

2

；
（2）在△ABC中，∵f（A）=

1

2

，
∴sin（2A-

π

6

）=1，0＜A＜π，
∴A=

π

3

，
∵S为△ABC的面积，S=2

3

，
∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

bc×

3

2

=2

3

，
∴bc=8①
又a=2

3

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²=20．②
由①②解得：b=4，c=2或b=2，c=4．

点评：本题考查正弦定理的应用，考查三角函数中的恒等变换应用，考查方程思想与化归思想，属于中档题．