Question

【题目】已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g（x）是h（x）=ex的反函数．
（1）求函数g（f（x））的单调区间；
（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣ （x＞0）恰有一个零点x0 ， 且g（x0）＜x02h（x0）﹣1 （参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数g（x）是h（x）=ex的反函数，

可得g（x）=lnx；

函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，

只能是f（﹣1）=8或f（2）=8，

即有1﹣a=8或4+2a=8，

解得a=2（﹣7舍去），

函数g（f（x））=ln（x2+2x），

由x2+2x＞0，可得x＞0或x＜﹣2．

由复合函数的单调性，可得

函数g（f（x））的单调增区间为（0，+∞）；

单调减区间为（﹣∞，﹣2）；

（2）证明：由（1）得：f（x）=x2+2x，即φ（x）=f（x）h（x）﹣ ，（x＞0），

设0＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴ ＜0，

∵f（x）在（0，+∞）递增且f（x）＞0，

∴f（x2）＞f（x1）＞0，

∵ ＞ ＞0，∴f（x1） ＜f（x2） ，

∴φ（x1）﹣φ（x2）=f（x1） ﹣f（x2） + ＜0，

即φ（x1）＜φ（x2），∴φ（x）在（0，+∞）递增；

∵φ（ ）= ﹣2＞ ﹣2=0，

φ（ ）= ﹣e＜ ﹣e＜0，

即φ（ ）φ（ ）＜0，

∴函数y=f（x）h（x）﹣ （x＞0）恰有1个零点x0，且x0∈（ ， ），

∴（ +2x0） ﹣ =0，即 = ，

∴ h（x0）﹣g（x0）= ﹣lnx0= ﹣lnx0，

∵y= ﹣lnx在（0， ）上是减函数，

∴ ﹣lnx0＞ ﹣ln = +ln2＞ +0.6=1，

即g（x0）＜ h（x0）﹣1，

综上，函数y=f（x）h（x）﹣ （x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1．

【解析】（1）求出g（x）的解析式以及a的值，从而求出g（f（x））的解析式，求出函数 的单调区间即可；（2）令φ（x）=f（x）h（x）﹣ ，（x＞0），根据函数的单调性得到φ（x）在（0，+∞）递增；从而证出结论．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．