Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax+1，曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线为l
（Ⅰ）若直线l的斜率为-3，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数是f（x）区间[-2，a]上的单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得a=-3，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；
（Ⅱ）由题意可得当函数在[-2，a]递增（或递减），即有f′（x）≥0（或≤0）对x∈[-2，a]成立，只要f′（x）=x²+2x+a在[-2，a]上的最小值（或最大值）大于等于0即可．求出二次函数的对称轴，讨论区间[-2，a]和对称轴的关系，求得最小值（或最大值），解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）因为f（0）=1，所以曲线y=f（x）经过点（0，1），
又f′（x）=x²+2x+a，
曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为-3，
所以f′（0）=a=-3，
所以f′（x）=x²+2x-3．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	减

所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-3），（1，+∞），
单调递减区间为（-3，1）；
（Ⅱ）因为函数f（x）在区间[-2，a]上单调，
①当函数f（x）在区间[-2，a]上单调递减时，f′（x）≤0对x∈[-2，a]成立，
即f′（x）=x²+2x+a≤0对x∈[-2，a]成立，
根据二次函数的性质，只需要$\left\{\begin{array}{l}{f′（-2）≤0}\\{f′（a）≤0}\end{array}\right.$，解得-3≤a≤0．
又a＞-2，所以-2＜a≤0；
②当函数f（x）在区间[-2，a]上单调递增，
所以f′（x）≥0对x∈[-2，a]成立，
只要f′（x）=x²+2x+a在[-2，a]上的最小值大于等于0即可．
因为函数f′（x）=x²+2x+a的对称轴为x=-1，
当-2≤a≤-1时，f′（x）在[-2，a]上的最小值为f′（a），
解f′（a）=a²+3a≥0，得a≥0或a≤-3，所以此种情形不成立；
当a＞-1时，f′（x）在[-2，a]上的最小值为f′（-1），
解f′（-1）=1-2+a≥0得a≥1，所以a≥1，
综上，实数a的取值范围是-2＜a≤0或a≥1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．