Question

（本小题满分14分）如图，平面平面，四边形为矩形，△为等边三角形．为的中点，．

（1）求证：；
（2）求二面角的正切值．

Answer 1

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）连接,要证,只需证明面,只需证明, 由已知面面垂直，易证,所以,面,得到,因为,易证,所以面,得,得证面，即证 ；（2）由（1），得．不妨设，则．因为为等边三角形，则
过作，垂足为，连接，则就是二面角的平面角，易证,求出.
试题解析：（1）证明：连结，因，是的中点，

故．               1分
又因平面平面，
故平面，
于是．            3分
又，
所以平面，
所以，            5分
又因，故平面，
所以．            7分
（2）由（1），得．不妨设，则．
因为为等边三角形，则                  9分
过作，垂足为，连接，
则就是二面角的平面角.                11分
在中，，，，
所以，又，所以
即二面角的正切值为．             14分