Question

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，若存在正实数m，n使得h（x）=mf（x）+ng（x）恒成立，则称h（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数．若f(x)=sin

x

2

，g(x)=cosx．
（1）判断函数y=sinkx，（k∈R）是否为f（x），g（x）在R上的生成函数，请说明理由．
（2）记G（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数，若G(

π

3

)=1，且G（x）的最大值为

9

8

，求G（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据题意，函数y=sinkx，（k∈R）是f（x），g（x）在R上的生成函数，则存在正实数m，n使得sinkx=msin

x

2

+ncosx恒成立，通过取特殊值得出矛盾，从而解决问题；
（2）由于G（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数，则存在正实数m，n使得G（x）=msin

x

2

+ncosx恒成立，
再结合题中条件得出关于m，n 的方程，即可求得m，n，从而得到代G（x）的解析式．

解答：解：（1）若函数y=sinkx，（k∈R）是f（x），g（x）在R上的生成函数，
则存在正实数m，n使得sinkx=msin

x

2

+ncosx恒成立，
取x=0得：0=n，不符合n＞0这个条件，
故函数y=sinkx，（k∈R）不是为f（x），g（x）在R上的生成函数，
（2）∵G（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数，若G(

π

3

)=1，
则存在正实数m，n使得G（x）=msin

x

2

+ncosx恒成立，
且msin

π

6

+ncos

π

3

=1，即：m+n=2，
故G（x）=(2-n)sin

x

2

+ncosx=(2-n)sin

x

2

+n(1-2sin  2

x

2

)
=(2-n)sin

x

2

-2nsin 2

x

2

+n
令sin

x

2

=t，则G（x）=-2nt²+（2-n）t+n，
根据其G（x）的最大值为

9

8

，
得到：n=1 或

4

9

代入m+n=2，得
m=1，n=1，或m=

14

9

，n=

4

9

故G（x）的解析式为：G（x）=sin

x

2

+cosx或G（x）=

14

9

sin

x

2

+

4

9

cosx．

点评：本小题主要考查函数的值域、函数恒成立问题、三角变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．