Question

（本小题满分12分）
设a∈R，函数f（x）= e ^-x（ax² + a + 1），其中e是自然对数的底数；

（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当 -1＜a＜0 时，求函数f（x）在 [ 1，2 ] 上的最小值。

Answer 1

（本小题满分12分）解：

（1）由已知：f′（x）=-e^-x（ax²+a+1）+ e^-x·2ax=e^-x（-ax²+2ax-a-1）。因为e^-x＞0，只需讨论g（x）=-ax²+2ax-a-1值的情况；当a=0时，g（x）=-1＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数；当a＞0时，g（x）=0的△=4a²-4（a²+a）=-4a＜0，所以g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数；  （4分）当a＜0时，g（x）=0有两根，且＜。所以，在区间（-∞，）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数，在区间（，）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在此区间上是减函数，在区间（，+∞）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数。综上所述，当a≥0时，f（x）的单调减区间为（-∞，+∞），当a＜0时，f（x）的单调增区间为（-∞，）和（，+∞），f（x）的单调减区间为（，）。（8分）
（2）当-1＜a＜0时，＜1，＞2，所以，在[1，2]上，f（x）单调递减，所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=。（12分）