Question

设函数f(x)=6cos2x-2

3

sinxcosx．
（1）求f（x）的最大值及周期；
（2）若锐角α满足f(α)=3-2

3

，求tan

4

5

α的值．

Answer 1

分析：（1）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的图象与性质求出f（x）的最大值以及周期即可；
（2）根据f（α）=3-2

3

，求出α的值，代入所求式子中计算即可求出值．

解答：解：（1）f（x）=6×

1+cos2x

2

-

3

sin2x=3cos2x-

3

sin2x+3=2

3

cos（2x+

π

6

）+3，
当2x+

π

6

=2kπ，k∈Z，即x=-

π

12

+kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值，最大值为2

3

+3，
∵ω=2，∴T=π；
（2）∵锐角α满足f（α）=3-2

3

，
∴2

3

cos（2α+

π

6

）+3=3-2

3

，即cos（2α+

π

6

）=-1，
∴2α+

π

6

=π，即α=

5π

12

，
则tan

4

5

α=tan

π

3

=

3

．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．