Question

（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，点到两定点F₁和F₂的距离之和为，设点的轨迹是曲线.(1)求曲线的方程；   (2)若直线与曲线相交于不同两点、(、不是曲线和坐标轴的交点)，以为直径的圆过点，试判断直线是否经过一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)   ；（2）直线过定点，定点坐标为．

【解析】

试题分析：(1)设，由椭圆定义可知，

点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为2的椭圆．

它的短半轴长，故曲线的方程为： 

（2）设．

联立  消去y，整理得，

则 

又．

因为以为直径的圆过点，，即．

．

．

．

解得：，且均满足．

当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；

当时，的方程为，直线过定点．

所以，直线过定点，定点坐标为．

考点：本题主要考查椭圆的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系。

点评：典型题，关于椭圆的考查，往往以这种“连环题”的形式出现，首先求标准方程，往往不难。而涉及在直线与椭圆的位置关系，往往要利用韦达定理，实现“整体代换”。