Question

已知函数f(x)=1+

1

x-1

，g(x)=f(2|x|)．
（I）求函数f（x）和g（x）的定义域；
（II）函数f（x）和g（x）是否具有奇偶性，并说明理由；
（III）证明函数g（x）在（-∞，0）上为增函数．

Answer 1

分析：（1）根据分式函数及指数函数的定义域的判定，可知函数f（x）和g（x）的定义域；
（2）根据奇偶性的定义，由f（x）的定义域为{x|x≠1}可知函数f（x）为非奇非偶函数，判断g（-x）与g（x）之间的关系，即可判断函数g（x）的奇偶性；
（3）利用原始的定义进行证明，在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，只要证g（x₂）＞g（x₁）就可以可，把x₁和x₂分别代入函数g （x）进行证明．

解答：解：（I）g(x)=f(2|x|)=1+

1

2|x|-1

，
∵2^|x|-1≠0⇒x≠0又1-x≠0⇒x≠1
函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠1}
函数g（x）的定义域{x|x∈R且x≠0}…（5分）
（II）由f（x）的定义域为{x|x≠1}可知函数f（x）为非奇非偶函数，
又g(-x)=1+

1

2|-x|-1

=1+

1

2|x|-1

=g(x)，
且函数g（x）的定义域{x|x∈R且x≠0}的定义域关于原点对称，
∴g（x）为偶函数…（10分）
（III）设x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂
g(x1)-g(x2)=

1

2|x1|-1

-

1

2|x2|-1

=

2|x2|-2|x1|

(2|x1|-1)(2|x2|-1)

，
∵x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
∴|x₁|＞|x₂|＞0
所以2|x1|＞2|x2|，2|x2|-2|x1|＜0，
2|x1|-1＞0，2|x2|-1＞0⇒g(x1)＜g(x2)
根据函数单调性的定义知  函数g（x）在（-∞，0）上为增函数…（15分）

点评：此题主要考查分式函数及指数函数的定义域、奇偶性和单调性，解题的关键是利用定义进行证明，是一道基础题．