Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，求证：.

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析

【解析】

（1）代入,可得的解析式.求得导函数,即可得直线方程的斜率,求得点坐标后,由点斜式即可求得切线方程.

（2）根据放缩法,由得.从而证明即可.构造函数,通过求得导函数,再令,求得.即可判断的单调性,进而求得的零点所在区间,并判断出该零点为的极小值点,求得在该点的最小值,即证明不等式成立.

（1）当时,

所以

所以,又因为,即点坐标为

所以曲线在点处的切线方程为

即

（2）证明：当时,,

要证明,只需证明,

设,则,

设,则,

所以函数在上单调递增,

因为,,

所以函数在上有唯一零点,且,

因为,所以,即,

当时,；当时,,

所以当时,取得最小值,

故,

综上可知,若,.