题目内容

数列{a_n}的前n项和记作S_n，满足S_n=2a_n+3n-12 （n∈N^*）．
（1）求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n= $数学公式$ ，求证：b₁+b₂+…+b_n＜ $数学公式$ ；
（3）若c_n= $数学公式$ ，且 $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ＜log_a（6-a）对所有的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

解：（1）S_n=2a_n+3n-12，S_n-1=2a_n-1+3（n-1）-12 （n≥2）
作差化简得到a_n-2a_n-1+3=0，所以a_n-3=2（a_n-1-3）且a₁=9，
所以a_n-3=6•2^n-1，所以a_n=3•2ⁿ+3
（2）b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴b₁+b₂+…+b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（3）c_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，令T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
错位相减得 $\text{[math]}$ ，∴T_n＜2
∵ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＜log_a（6-a）对所有的正整数n恒成立，∴log_a（6-a）≤2
当0＜a＜1时，6-a≤a²，∴a≥2或a≤-3
当1＜a＜6时，6-a≥a²，∴-3≤a≤2
综上，1≤a≤2．
分析：（1）由S_n=2a_n+3n-12可得S_n-1=2a_n-1+3（n-1）-12 （n≥2），两式相减化简可得a_n-3=2（a_n-1-3），从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而b₁+b₂+…+b_n= $\text{[math]}$ 化简可证
（3）c_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，令T_n= $\text{[math]}$ 再写一式错位相减可知 $\text{[math]}$ ，从而T_n＜2故问题可转化为log_a（6-a）≤2，进而问题得解．
点评：本题考查构造法求数列的通项、裂项求和，同时考查恒成立问题的处理，解题时要认真审题，仔细解答，注意问题的等价转化．

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设等比数列{a_n}的公比q≠1，S_n表示数列{a_n}的前n项的和，T_n表示数列{a_n}的前n项的乘积，T_n（k）表示{a_n}的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积，即T_n（k）=

（n，k∈N⁺，k≤n），则数列

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

的前n项的和是

（用a₁和q表示）

若数列{a_n}的通项an=

，实数p，q满足p＞q＞0且p＞1，s_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求证：当n≥2时，pa_n＜a_n-1；
（2）求证sn＜

)；
（3）若an=

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a_n＞0，Sn=

，n∈N^*，
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）若数列{b_n}满足b₁=2，bn+1=2an+bn，求数列{b_n}的通项公式b_n．

（2012•商丘二模）数列{a_n}的前n项和为S_n，若数列{a_n}的各项按如下规律排列：

，…有如下运算和结论：
①a₂₄=

；
②数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等比数列；
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…的前n项和为T_n=

；
④若存在正整数k，使S_k＜10，S_k+1≥10，则a_k=

．
其中正确的结论是

．（将你认为正确的结论序号都填上）

给出下列命题：
①若数列{a_n}的前n项和Sn=2n+1，则数列{a_n}为等比数列；
②在△ABC中，如果A=60°，a=

，b=4，那么满足条件的△ABC有两解；
③设函数f（x）=x|x-a|+b，则函数f（x）为奇函数的充要条件是a²+b²=0；
④设直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的序号是