Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．
（Ⅰ）求证：AC⊥DE；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（I）连接BD，设AC与BD相交于点F．由已知中在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，我们易得AC⊥BD，PD⊥AC，由线面垂直的判定定理可以得AC⊥平面PDB，再由线面垂直的性质定理，即可得到AC⊥DE；
（Ⅱ）连接EF，由（Ⅰ）的结论可知AC⊥平面PDB，EF?平面PBD，所以AC⊥EF，结合已知中AC=6，BD=8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．我们可以求出EF，FB，PD的值，将PD值，及底面四边形ABCD的面积求出后，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F．
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因为PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC．
而AC∩BD=F，所以AC⊥平面PDB．
E为PB上任意一点，DE?平面PBD，所以AC⊥DE．
（Ⅱ）连EF．由（Ⅰ），知AC⊥平面PDB，EF?平面PBD，所以AC⊥EF．
S_△ACE=

1

2

AC•EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB．
S_△ACE=

1

2

×6×EF=3，解得EF=1．
由△PDB∽△FEB，得PD：EF=BP：FB．
由于EF=1，FB=4，PB=

PD2+64

，所以PB=4PD，即

PD2+64

=4PD．
解得PD=

8 15

15

．
V_P-ABCD=

1

3

•S_□ABCD•PD=

1

3

×24×

8 15

15

=

64 15

15

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，棱锥的体积，其中在求棱锥的体积时，求出棱锥的高及底面面积是解答的关键．