Question

（文史生做）设a∈R，对任意实数x都有x2+2xlog3a+8log9a≥3成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：任意实数x都有x2+2xlog3a+8log9a≥3成立，可设y=x²+2xlog₃a+8log₉a，求y的最小值y_min，令y_min≥3，解出a的取值范围．

解答：解：∵a∈R，对任意实数x都有x2+2xlog3a+8log9a≥3成立，∴a＞0；
设y=x²+2xlog₃a+8log₉a，则y=(x+log3a)2-log32a+4log₃a，
当x=-log₃a时，y_min=-log32a+4log₃a，
∴-log32a+4log₃a≥3，即log32a-4log₃a+3≤0，
解得1≤log₃a≤3，即3≤a≤27，
∴a的取值范围是{a|3≤a≤27}．

点评：本题考查了二次函数与指数函数性质的综合应用问题，是基础题．