Question

设函数f（x）=x³-6x+5，x∈R
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[-2，2]上的最值．

Answer 1

分析：（1）利用导数运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可解得x的范围，列出表格，即可得出单调区间．
（2）由（1）可知函数f（x）在[-2，-

2

]上单调递增，在[-

2

，

2

]上单调递减，在[

2

，2]上单调递增，分别求出极值与区间端点的函数值解析比较即可端点最值．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-6x+5，∴f′（x）=3x²-6．
令f′（x）=0，解得x=±

2

，f′（x），f（x）随着x的变化情况如下表：

x	(-∞，- 2 )	- 2	(- 2 ， 2 )	2	( 2 ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由上表可知f（x）的单调递增区间为(-∞，-

2

)和(

2

，+∞)，
单调递减区间为(-

2

，

2

)．
（2）由（1）可知函数f（x）在[-2，-

2

]上单调递增，在[-

2

，

2

]上单调递减，
在[

2

，2]上单调递增，
∴f（x）的极大值=f(-

2

)=5+4

2

，f（x）的极小值=f(

2

)=5-4

2

．
又∵f(2)=1＜5+4

2

=f(-

2

)，f(-2)=9＞5-4

2

=f(

2

)，
∴函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值为5+4

2

，最小值为5-4

2

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，熟练掌握导数的运算法则、分类讨论的思想方法等是解题的关键，属于中档题．