Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=3S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₄a_n，试比较b1+b2+…+bn与

(n-1)2

2

•的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由a_n+1=3S_n，得a_n+2=3S_n+1，故a_n+2-a_n+1=3a_n+1，整理得 

an+2

an+1

=4（n∈N^*），由此能求出数列{a_n}的通项公式．（2）bn=

0，(n=1) log43+(n-2)，(n≥2)

，故n=1，b₁=

(1-1)2

2

=0；n≥2，b1+b2+…+bn=0+

log

3 4

+0+

log

3 4

+…+

log

3 4

+（n-2）（n-1）

log

3 4

+

(n-2)(n-1)

2

，由此能比较b1+b2+…+bn与

(n-1)2

2

的大小．

解答：解：（Ⅰ） 由a_n+1=3S_n（1），
得a_n+2=3S_n+1（2）
（2）-（1）得 a_n+2-a_n+1=3a_n+1，
整理得 

an+2

an+1

=4（n∈N^*）
∴数列a₂，a₃，a₄，…，a_n，…是以4为公比的等比数列．
其中，a₂=3S₁=3a₁=3，
所以，an=

1 3×4n-2

(n=1) (n≥2，n∈N)

…（5分）
（2）∵an=

1 3×4n-2

(n=1) (n≥2，n∈N)

，b_n=log₄a_n，
∴bn=

0，(n=1) log43+(n-2)，(n≥2)

∴n=1，b₁=

(1-1)2

2

=0
n≥2，b1+b2+…+bn=0+

log

3 4

+0+

log

3 4

+…+

log

3 4

+（n-2）（n-1）

log

3 4

+

(n-2)(n-1)

2

=

(n-1)

2

[2

log

3 4

-1+（n-1）]

(n-1)

2

[log4

9

4

+(n-1)]＞

(n-1)2

2

∴b1+b2+…+bn ≥

(n-1)2

2

…（12分）

点评：本题考查通项公式的证明和比较大小，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．