Question

已知二次函数f（x）的图象与x轴交于A，B两点，且|AB|=2

3

，它在y轴上的截距为4，对任意的x都有f（x+1）=f（1-x）．（1）求f（x）的表达式；（2）若二次函数的图象都在直线l：y=x+c下方，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）可用待定系数法求参数，将题设条件逐个转化，对任意的x都有f（x+1）=f（1-x）转化为对称轴为x=1，在y轴上的截距为4转化为图象过（0，4）点，图象与x轴交于A，B两点，且|AB|=2

3

可以得到两根差的绝对值等于3，依次将这三个关系用参数表示出来求参数．
（2）二次函数的图象都在直线l：y=x+c下方，即横坐标相同时，二次函数图象上点的纵坐标都小于等于直线上相应点的纵坐标，利用此关系建立相应的不等式，此不等式为关于x的一元二次不等式，下据具体情况将此不等式恒成立的问题等价转化为参数c的不等式即可．

解答：解：（1）∵f（x+1）=f（1-x），∴y=f（x）的对称轴为x=1，
又f（x）为二次函数，可设f（x）=a（x-1）²+k（a≠0）．
又当x=0时，y=4，∴a+k=4，得f（x）=a（x-1）²+4．令f（x）=0得a（x-1）²+4=0，
∴x=1±

a-4 a

（

a-4

a

≥0）
∴|AB|=2

a-4 a

，又|AB|=2

3

，
∴

a-4 a

=

3

，∴a=-2，
∴f（x）=-2x²+4x+4
（2）由条件知-2x²+4x+4≤x+c在x?R恒成立，即2x²-4x-4+c≥0对x?R恒成立，
∴△=9+8（4-c）≤0，∴c≥

41

8

∴c的取值范围是[

41

8

，+∞)

点评：本题考点是二次函数的性质，属于二次函数性质的综合应用题，第一小题头绪繁多，第二小题转化方式隐蔽，对抽象思绪要求较高，极好地考查了依据相关知识进行灵活转化的技能．对本题的转化依据与转化方式要认真分析，作为以后解题的借鉴．