Question

（本题满分12分）

如图，已知椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直，直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连接并延长交直线于点，为的中点．试判断直线与以为直径的圆的位置关系．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）直线与以为直径的圆相切。

【解析】本试题主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用。

（1）将已知直线方程整理得到过定点（0，1）,从而得到b的值，然后结合离心率公式得到其方程。

（2）设出点P，利用PQ=PH，得到关系式，进而化简得到直线的方程，以及向量的坐标得到证明。

解：（1）将整理得，解方程组得直线所经过的定点为。

由离心率，得。椭圆的标准方程为 ……5分

（1） 设，则。，

，

点在以为圆心，2为半径的圆上，即点在以为直径的圆上。

又直线l的方程为。令，得。

又，的中点，

，直线与以为直径的圆相切……12分