Question

（2011•洛阳一模）某班级举行一次知识竞赛，活动分为初赛和决赛，现将初赛成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．

分组（分数段）	频数（人数）	频率
（60，70）	8	0.16
（70，80）	22	0.44
（80，90）	14	0.28
（90，100）	6	0.12
合计	50	1

（1）填充频率分布表中的空格（直接写出对应空格序号的答案，不必写过程）；
（2）决赛规则如下：参加决赛的同学依次回答主持人的4道题，答对2道就终止答题，并获得一等奖；如果前三道题都答错，就不再回答第四题．某同学甲现已进入决赛（初赛80分以上，不含80分），每题答对的概率P的值恰好等于频率分布表中80分以上的频率值．
①求该同学答完3道题而获得一等奖的概率；
②记该同学决赛中答题的个数为ξ，求ξ的分布列．

Answer 1

分析：（1）根据样本容量，频率和频数之间的关系得到要求的几个数据；
（2）①该同学恰好答满3道题而获得一等奖，即前2道题中刚好答对1道，第3道也能够答对才获得一等奖，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
②答对2道题就终止答题，并获得一等奖，所以该同学答题个数为2、3、4，结合变量对应的概率，写出分布列和期望．

解答：解：（1）由题意，根据样本容量，频率和频数之间的关系得到①0.16×50=8；②

22

50

=0.44；③50-8-22-14=6④

6

50

=0.12；⑤合计频率为1；
（2）由（1）得，P=0.28+0.12=0.4，
①该同学恰好答满3道题而获得一等奖，即前2道题中刚好答对1道，第3道也能够答对才获得一等奖，
则有C₂¹×0.4×0.6×0.4=0.192；
②答对2道题就终止答题，并获得一等奖，
∴该同学答题个数为2、3、4，即ξ=2、3、4，
P（ξ=2）=0.4²=0.16，
P（ξ=3）=C₂¹0.4×0.6×0.4+0.6³=0.408，
P（ξ=4）=C₃¹0.4×0.6²=0.432，
∴ξ的分布列为：

ξ	2	3	4
P	0.16	0.408	0.432

点评：本题考查频率、频数和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的随机变量的分布列及数学期望，是一个综合题．