Question

10．（Ⅰ）关于x的不等式mx²-（m+3）x-1＜0的解集为R，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）关于x的不等式x²+ax+b＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当m=0时，不等式可化为-3x-1＜0，显然解集不为R，当m≠0时，不等式mx²-（m+3）x-1＜0的解集为R，则对应的二次函数y=mx²-（m+3）x-1的解集为R的图象应开口朝下，且与x轴没有交点．
（Ⅱ）利用根与系数的关系求a，b．

解答 解：（Ⅰ）当m=0时，不等式可化为-3x-1＜0，显然解集不为R，
当m≠0时，不等式mx²-（m+3）x-1＜0的解集为R，
则对应的二次函数y=mx²-（m+3）x-1的解集为R的图象应开口朝下，且与x轴没有交点，
故$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{（m+3）^{2}+4m＜0}\end{array}\right.$，
解得-9＜m＜-1，
综上所述，实数m的取值范围是（-9，-1）．
（Ⅱ）：由x的不等式x²+ax+b＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}，得到方程x²+ax+b=0的两根为1，2，
∴1+2=-a，1×2=b，
即a=3，b=2．

点评 本题考查了一元二次不等式的解集与对应的二次函数的关系以及函数的恒成立问题，体现了分类讨论和转化的数学思想，属于中档题．