(2011•顺义区二模)已知椭圆C的左.右焦点坐标分别为F1(-3.0).F2(3.0).离心率是32．椭圆C的左.右顶点分别记为A.B．点S是椭圆C上位于x轴上方的动点.直线AS.BS与直线l:x=-103分别交于M.N两点．(1)求椭圆C的方程,(2)求线段MN长度的最小值,(3)当线段MN的长度最小时.在椭圆C上的T满足:T到直线AS的距离等于24.试确定点T� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2011•顺义区二模）已知椭圆C的左，右焦点坐标分别为F1(-

，0)，F2(

，0)，离心率是

．椭圆C的左，右顶点分别记为A，B．点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=-

分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN长度的最小值；
（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的T满足：T到直线AS的距离等于

，试确定点T的个数．

分析：（1）因为

，且c=

，所以a=2，b=

a2-c2

=1，由此能求出椭圆C的方程．
（2 ）椭圆C的左，右顶点坐标为A（-2，0），B（2，0），设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M(-

，-

k)
由

y=k(x+2)

+y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由此入手能够求出线段MN的长度的最小值．
（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时，k=1，此时AS的方程为x-y+2=0，S(-

，

)，因为点T到直线AS的距离等于

，所以点T在平行于AS且与AS距离等于

的直线l′上．设l′：x-y+t=0，则由

|t-2|

，解得t=

或t=

．由此入手能求出所求点T的个数．

解答：解：（1）因为

，且c=

，所以a=2，b=

a2-c2

=1
所以椭圆C的方程为

+y2=1…．（3分）
（2 ）易知椭圆C的左，右顶点坐标为A（-2，0），B（2，0），直线AS的斜率k显然存在，且k＞0
故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M(-

，-

k)
由

y=k(x+2)

+y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
设S（x₁，y₁），则(-2)x1=

16k2-4

1+4k2

，得x1=

2-8k2

1+4k2

从而y1=

1+4k2

，即S(

2-8k2

1+4k2

，

1+4k2

)又B（2，0），故直线BS的方程为y=-

(x-2)
由

y=-

(x-2)

x=-

得

x=-

y═

，所以N(-

，

)故|MN|=|

|
又k＞0，所以|MN|=

≥2

•

当且仅当

时，即k=1时等号成立
所以k=1时，线段MN的长度取最小值

…..（9分）
（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时，k=1
此时AS的方程为x-y+2=0，S(-

，

)，
因为点T到直线AS的距离等于

，
所以点T在平行于AS且与AS距离等于

的直线l′上
设l′：x-y+t=0，则由

|t-2|

，解得t=

或t=

1当t=

2时，由

+y2=1

4x-y+

6得5x²+12x+5=07
由于△=44＞0，故直线l′与椭圆C有两个不同交点
②t=

时，由

+y2=1

x-y+

得5x²+20x+21=0由于△=-20＜0，故直线l′与椭圆C没有交点
综上所求点T的个数是2．…..（14分）

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．

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