已知椭圆C1:$\frac{{x}^{2}}{{{a} {1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{{b} {1}}^{2}}$=1(a1＞b1＞0)和双曲线C2:$\frac{{x}^{2}}{{{a} {2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{{b} {2}}^{2}}$=1(a2＞0.b2＞0)有相同的交点F1.F2.且椭圆C1与双曲线C2在第一象限的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0）和双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}$=1（a₂＞0，b₂＞0）有相同的交点F₁，F₂，且椭圆C₁与双曲线C₂在第一象限的交点为P，若2$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{O{F}_{2}}$²（O为坐标原点），则双曲线C₂的离心率的取值范围是（　　）

A．

（$\sqrt{2}$，+∞）

B．

（2，+∞）

C．

（$\sqrt{3}$，+∞）

D．

（3，+∞）

分析利用2$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{O{F}_{2}}$²，确定P的横坐标为x₀=$\frac{c}{2}$，再得出e₁e₂=2，即可得出结论．

解答解：因为2$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{O{F}_{2}}$²，
所以2|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$||$\overrightarrow{OP}$|cos∠POF₂=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$^|2，
所以2|$\overrightarrow{OP}$|cos∠POF₂=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$^|，
所以P在OF₂中的射影为OF₂的中点，
所以P的横坐标为x₀=$\frac{c}{2}$，
因为|PF₂|=a₁-ex₀=e₂x₀-a₂，
所以x₀=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{{e}_{1}+{e}_{2}}$=$\frac{c}{2}$，
所以2（a₁+a₂）=c（e₁+e₂），
所以a₁a₂=$\frac{{c}^{2}}{2}$，
所以e₁e₂=2，
所以e₂=$\frac{2}{{e}_{1}}$，
因为e₁∈（0，1），
所以e₂∈（2，+∞），
故选：B．