Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，F₁、F₂分别为其左、右焦点，P在椭圆上任意一点，且的最大值为1，最小值为-2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A为椭圆C的右顶点，直线l是与椭圆交于M、N两点的任意一条直线，若AM⊥AN，证明直线l过定点．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆方程为，p（x，y）为椭圆上任意一点，，由，知=．由此能求出椭圆方程．
（2）①若直线l不垂直于x轴，设该直线方程为y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由得x²+4（k²x²+2kmx+m²）=4，由此能求出过定点（）．②若直线l垂直于x轴，设l与x轴交于点（x，0），由椭圆的对称性知△MNA为等腰Rt△，，解得此时直线l也过定点（）．由此知，直线l恒过定点（）．
解答：解：（1）设椭圆方程为，p（x，y）为椭圆上任意一点，
∴，，
∴，
∵，
∴=．
∵0≤x²≤a²，∴，∴，∴，∴a²=4，
∴椭圆方程为．
（2）①若直线l不垂直于x轴，设该直线方程为y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由得x²+4（k²x²+2kmx+m²）=4，
化简，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，∴，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=．
∵AM⊥AN，∴，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴．整理，得12k²+16km+5m²=0，
∴或，
当k=-时，l：y=-过定点（2，0），不满足题意．
当时，过定点（）．
②若直线l垂直于x轴，设l与x轴交于点（x，0），由椭圆的对称性知△MNA为等腰Rt△，
∴，解得或2（舍），即此时直线l也过定点（）．
由①②知，直线l恒过定点（）．
点评：本题考查直线 和圆锥曲线的综合应用，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．