Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，在A₁B₁上，且A₁P=3PB₁．
（I）求证：PD⊥AD₁；
（II）求二面角C-DD₁-P的大小；
（III）求点B到平面DD₁P的距离．

Answer 1

【答案】分析：（I）建立空间直角坐标系D-xyz，用坐标表示点与向量，进而证明，从而PD⊥AD₁；
（II）设平面DD₁P 的法向量为，求得，又平面CDD₁的法向量可为，利用向量的夹角公式可求二面角C-DD₁-P的大小；
（III）利用点B到平面DD₁P的距离公式可得=．
解答：证明：（I）由A₁B₁=AB=2，A₁P=3PB₁．
∴A₁P=
如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则
∵
∴
∴
∴PD⊥AD₁；
（II）设平面DD₁P 的法向量为
∴
取y=-2，，则
∵平面CDD₁的法向量可为
∴
∵二面角C-DD₁-P的平面角为锐角
∴二面角C-DD₁-P的大小为；
（III）点B到平面DD₁P的距离为=．
点评：本题以长方体为载体，考查线线垂直，考查面面角，考查点到面的距离，解题的关键是建立空间直角坐标系，用向量的方法解决立体几何问题．