Question

已知等比数列{a_n}满足，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，若不等式S_n＞ka_n-2对一切n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵，n∈N^*，∴a₂+a₁=9，a₃+a₂=18，…（2分）
∴，…（4分）
又2a₁+a₁=9，∴a₁=3．
∴． …（7分）
（Ⅱ），…（9分）
∴3（2ⁿ-1）＞k•3•2^n-1-2，∴． …（11分）
令，f（n）随n的增大而增大，
∴．∴．
∴实数k的取值范围为． …（14分）
分析：（Ⅰ）利用等比数列{a_n}满足，确定数列的公比与首项，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出S_n，再利用不等式S_n＞ka_n-2，分离参数，求最值，即可求实数k的取值范围．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．