Question

若函数f（x）=x³+ax²-2x+5在区间（

1

3

，

1

2

）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：求出函数的导数，由题意得函数的导数在区间（

1

3

，

1

2

）上至少有一个零点，分两种情况①若只有一个零点；②若有两个不同零点，进行讨论，综合可得实数a的取值范围．

解答：解：∵f（x）=x³+ax²-2x+5
∴f^/（x）=3x²+2ax-2
根据题意，函数在区间（

1

3

，

1

2

）上至少有一个零点
①若只有一个零点，则f/(

1

3

) •f/(

1

2

) ＜0，得a∈(

5

4

，

5

2

)
②若有两个不同零点，则

f/( 1 3 ) ＞0 f/( 1 2 ) ＞0 △＞0 1 3 ＜- a 3 ＜  1 2

，得a∈∅
综上所述，a∈(

5

4

，

5

2

)
故答案为：(

5

4

，

5

2

)

点评：本题考查了利用导数研究三次多项式函数的单调性，从而求参数a的取值范围，属于中档题．解题时应该注意导数零点个数的讨论，以免出现只一个零点的误解．