Question

已知首项为负的数列{a_n}中，相邻两项不为相反数，且前n项和为S_n=．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）设数列的前n项和为T_n，对一切正整数n都有T_n≥M成立，求M的最大值．

Answer 1

解：（I）∵S_n=．
∵．
∴（a_n+1-a_n-2）（a_n+1-a_n）=0
∵相邻两项不为相反数
∴a_n+1-a_n=2
∴数列{a_n}为公差为2的等差数列；

（II）由（I）知a_n=2n-7
∴
∴
因为T_n在[1，2][3，+∝）上是增函数．
且T₁=，
要使得对一切正整数n都有T_n≥M成立
只要M≤-
∴M的最大值为
分析：（I）由S_n=．结合通项与前n项和间的关系公式，求得（a_n+1-a_n-2）（a_n+1-a_n）=0
再由相邻两项不为相反数，有a_n+1-a_n=2符合等差数列的定义．
（II）由（I）知a_n=2n-7，将变形，再用裂项相消法求得T_n，再通过单调性来求得其最小值即可．
点评：本题主要考查两个问题，一是判断数列，方法一般是定义法或通项公式法，二是求前n项和，常用方法是倒序相加法，错位相减法，裂项相消法等．