Question

己知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为,P为椭圆上一动点，、分别为椭圆的左、右焦点，且面积的最大值为.  

  (1)求椭圆的方程；

  (2)设椭圆短轴的上端点为A，M为动点，且成等差数列，求动点M的轨迹的方程；

  (3)过点M作的切线交与Q、R两点，求证：．

Answer 1

（1）设椭圆C₁的方程为

由椭圆的几何性质知，当P为椭圆的短轴端点时，△PF₁F₂的面积最大，故| F₁F₂|b=bc=,

解得a=2,b=1,故所求椭圆方程为

（2）由（1）知A（0，1），F₁（，0），F₂（，0），设M（x,y）则

整理得M的轨迹C₂的方程为

（3）l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m,带入椭圆方程并整理得

设Q（x₁,y₁）,R(x₂,y₂),则x₁+x₂=

所以y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²,

又因为l与C₂相切，所以

所以当l的斜率不存在时，l: ,带入椭圆方程得

此时=