Question

已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝1，BC＝2，又PB⊥平面ABCD，且PB＝1，点E在棱PD上，且DE＝2PE．

(Ⅰ)求异面直线PA与CD所成的角的大小；

(Ⅱ)求证：BE⊥平面PCD；

(Ⅲ)求二面角A－PD－B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)取BC中点F，连结AF，则CF＝AD，且CF∥AD， 　　∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥CD， 　　∴∠PAF(或其补角)为异面直线PA与CD所成的角　　　2分 　　∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF． 　　∵PB＝AB＝BF＝1，∴AB⊥BC，∴PA＝PF＝AF＝．　　　4分 　　∴△PAF是正三角形，∠PAF＝60° 　　即异面直线PA与CD所成的角等于60°．　　　5分 　　(Ⅱ)在Rt△PBD中，PB＝1，BD＝，∴PD＝ 　　∵DE＝2PE，∴PE＝ 　　则，∴△PBE∽△PDB，∴BE⊥PD．　　　7分 　　由(Ⅰ)知，CF＝BF＝DF，∴∠CDB＝90°． 　　∴CD⊥BD．又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD． 　　∵PB∩BD＝B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥BE　　　9分 　　∵CD∩PD＝D，∴BE⊥平面PCD．　　　10分 　　(Ⅲ)连结AF，交BD于点O，则AO⊥BD． 　　∵PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABD，∴AO⊥平面PBD． 　　过点O作OH⊥PD于点H，连结AH，则AH⊥PD． 　　∴∠AHO为二面角A－PD－B的平面角．　　　12分 　　在Rt△ABD中，AO＝． 　　在Rt△PAD中，AH＝．　　　14分 　　在Rt△AOH中，sin∠AHO＝． 　　∴∠AHO＝60°． 　　即二面角A－PD－B的大小为60°．　　　15分