Question

已知f(x)=|x²-1|+x²+kx，
（1）若k=2，求方程f(x)=0的解；
（2）若关于x的方程f(x)=0在(0，2)上有两个解x₁，x₂，求k的取值范围，并证明：。

Answer 1

解：（1）当k=2时，，
①当，即x≥1或x≤-1时，
方程化为，解得，
因为，舍去，所以；
②当，即-1＜x＜1时，方程化为2x+1=0，解得：；
由①②得，当k=2时，方程f(x)=0的解为或。
（2）不妨设，
因为，
所以f(x)在（0，1］是单调函数，故f(x)=0在（0，1］上至多一个解，
若，则＜0，故不符题意，因此；
由，得，所以k≤-1；
由，得，所以；
故当时，方程f(x)=0在(0，2)上有两个解；
因为，所以，，
消去k，得，
即，
因为x₂＜2，所以。