Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+a²（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1． 
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f(x)＜

1

2

m3-mlnm-mt+

7

2

在x∈（-∞，1]上恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意可知f'（x）＜0的解集为（1，2），即f'（x）=0的两个根为1和2，利用根与系数的关系建立等式，以及满足f（0）=1，建立方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式．
（II）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），利用导数研究它的单调性得出当x=1时，f(x)max=f(1)=

7

2

，要使f(x)＜

1

2

m3-mlnm-mt+

7

2

在x∈（-∞，1]上恒成立，即

1

2

m3-mlnm-mt+

7

2

＞f(x)max，下面再利用导数研究函数f（x）的最大值，即可得出实数t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由已知得，f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵函数f（x）=ax³+bx²+cx+a²的单调递减区间是（1，2），
∴f′（x）＜0的解是1＜x＜2，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c=0的两个根分别是1和2，且a＞0
从f（0）=a²=1且 a＞0可得a=1
又

f′(1)=3+2b+c=0 f′(2)=12+4b+c=0

得

b=- 9 2 c=6

∴f(x)=x3-

9

2

x2+6x+1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
∴x∈（-∞，1]时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，1]上是增函数
对x∈（-∞，1]，当x=1时，f(x)max=f(1)=

7

2

要使f(x)＜

1

2

m3-mlnm-mt+

7

2

在x∈（-∞，1]上恒成立，
即

1

2

m3-mlnm-mt+

7

2

＞f(x)max

1

2

m3-mlnm-mt+

7

2

＞

7

2

，
即mt＜

1

2

m3-mlnm对任意m∈（0，2]恒成立，
即t＜

1

2

m2-lnm对任意m∈（0，2]恒成立，
设h(m)=

1

2

m2-lnm，m∈(0，2]，则t＜h（m）_minh′(m)=m-

1

m

=

m2-1

m

=

(m-1)(m+1)

m

，令h′（m）=0，得m=1或m=-1
在m∈（0，2]，h′（m）的符号与h（m）的单调情况如下表：

m	（0，1）	1	（1，2）	2
h′（m）	-	0	+	0
h（m）	↘	极小值	↗	极大值

∴m=1时，h(m)min=h(m)极小值=

1

2

，
∴t＜

1

2

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数在某点取得极值的条件、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．