题目内容

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并写出数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足 $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的值．

证明：（1）a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁=1，
∴a₁+1≠0，a_n+1≠0，
$\text{[math]}$ =2，
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
即a_n+1=2ⁿ，因此a_n=2ⁿ-1．　　　…（6分）
（2）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴2b_n-n=n²，
即b_n= $\text{[math]}$ （n²+n）．…（9分）
∴S= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
=2（1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
=2（1- $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（1）根据题意可证得 $\text{[math]}$ =2，从而可求得a_n+1的通项公式，继而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知a_n=2ⁿ-1，再由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 可求得b_n= $\text{[math]}$ （n²+n），利用裂项法可求得S= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ 的值．
点评：本题考查等比数列的通项公式，考查裂项法求和，求得 $\text{[math]}$ =2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．