Question

如图，将45°的直角三角板ADC和30°的直角三角板ABC拼在一起组成平面四边形ABCD，其中45°的直角三角板的斜边AC与30°的直角三角板的30°所对的直角边重合，若

DB

=x

DA

+y

DC

，则x，y分别等于（　　）

• A、

  3

  ，1
• B、

  3

  +1，

  3

• C、2，

  3

• D、

  3

  ，

  3

  +1

Answer 1

分析：根据直角三角形中的边角关系求出各边长，余弦定理求出DB²=x²+y² ①，Rt△CC′B中，由勾股定理得  BC²=CC'²+C′B²，即 6=（y-1）2+x2 ②，由①②可解得 x、y值．

解答：解：由题意得，若设 AD=DC=1，则 AC=

2

，AB=2

2

，BC=

6

，由题意知，

DB

=x

DA

+y

DC

△BCD中，由余弦定理得 DB²=DC²+CB²-2DC•CB•cos（45°+90°）=1+6+2×1×

6

×

2

2

=7+2

3

，
∵

DB

=x

DA

+y

DC

，∠ADC=90°，
∴DB²=x²+y²，∴x²+y²=7+2

3

  ①．
如图，作

DC′

=y

DC

，

DA′

=x

DA

则

DB

=

DC′

+

DA′

，
CC′=y-1，C′B=x，
Rt△CC′B中，由勾股定理得  BC²=CC'²+C′B²，即 6=（y-1）²+x²，②
由①②可得 y=1+

3

，x=

3

，
故选D．

点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，余弦定理、勾股定理得应用，体现了数形集合的数学思想．