Question

已知函数f（x）=log_a（a^x-1），其中a＞0且a≠1
（1）证明函数f（x）的图象在y轴的一侧；
（2）求函数y=f（2x）与y=f^-1（x）的图象的公共点的坐标．

Answer 1

分析：（1）讨论字母a与1的大小关系，求函数的定义域，即可证明当a＞1时，图象f（x）总在y轴的右侧，当0＜a＜1时，图象f（x）总在y轴的左侧
（2）先求函数f（x）的反函数得y=f^-1（x），再将y=f（2x）与y=f^-1（x）联立，解方程组即可得图象的公共点的坐标

解答：解：（1）因为函数f（x）=log_a（a^x-1）的定义域解不等式a^x-1＞0的解集，
当a＞1时，不等式a^x-1＞0等价于a^x＞a⁰，即x＞0；
当0＜a＜1时，不等式a^x-1＞0等价于a^x＞a⁰，即x＜0．
所以函数f（x）的定义域是（0，+∞）或（-∞，0），所以图象f（x）总在y轴的一侧；
（2）由y=log_a（a^x-1）得a^x=a^y+1，即x=log_a（a^y+1），所以f^-1（x）=log_a（a^x+1），
∴

y=loga(a2x-1) y=loga(ax+1)

，消去y，得a^2x-a^x-2=0，解得a^x=-1或a^x=2，
解得

x=loga2 y=loga3

∴函数y=f（2x）与y=f^-1（x）的图象的公共点的坐标是（log_a2，log_a3）．

点评：本题考查了函数定义域的意义，函数图象交点的代数求法，解题时要透彻理解函数定义，学会利用函数解析式解决函数关系问题